(間斷點(diǎn)、左右極限)? 當(dāng) |x| < 1 時(shí)，?;當(dāng) |x| > 1 時(shí)，。

(函數(shù)有界性判定)? 設(shè)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，若及存在，則f(x)在(a,b)內(nèi)有界。

例題 討論函數(shù)在上的有界性。

由及可知f(x) = f(-x)，所以f(x)是偶函數(shù)。只需證明f(x)在上有界。又?于是，對(duì)于（ 可以為任意正數(shù)但必須確定下來(lái) ），存在A>0，當(dāng)x>A時(shí)，有。

即當(dāng)x>A時(shí)，有0<f(x)<1。

因?yàn)閒(x)在[0,A]上連續(xù)，因此f(x)在 [0,A]有界，注意到在 上。故，存在M ₁ >0，使得任意有。取M = max{1,M ₁ }則對(duì)任意有。從而可知：對(duì)任意有。

注意：

1、要判斷函數(shù)的有界性先考慮在間斷點(diǎn)、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限（涉及左右極限）；

2、不用求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性之類，這兩步已經(jīng)證明了有界性。

(周期函數(shù))? ?設(shè)f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)則：

1、f(x)的原函數(shù)是以T為周期的充要條件是；

2、任意，；

3、。

(求極限) ? ??

解：原式 =??=??=?

注意：這里運(yùn)用了等價(jià)無(wú)窮小 x-1 ~ ln(x-1+1) 其實(shí)是 x ~ ln(x+1) 的變體

用到的無(wú)窮小：1、當(dāng)??，得到??；2、arctanx ~ x；3、1-cosx ~?；4、。

(函數(shù)的導(dǎo)數(shù))(不一定用得著) ?若??存在，且??則?

(兩個(gè)重要的極限)? ；

(單側(cè)極限)? 若在求極限時(shí)，涉及?、、、絕對(duì)值，要考慮單側(cè)極限。

(和差中的等價(jià)無(wú)窮小替換)? 若當(dāng)??o（代表一個(gè)值）?時(shí)，~、~，則只有當(dāng)??時(shí)，才能用??，這是因?yàn)閷??用??替代后產(chǎn)生的誤差大小只能用泰勒公式才能說清楚。

(求極限)?

解：令??，原式 =??=??=??=??=?

注意：在用常見方法（四則運(yùn)算、重要極限、等價(jià)無(wú)窮小替換）不能求解極限時(shí)，變量替換是行之有效的方法（尤其是倒代換）（觀察趨近的數(shù)一般由無(wú)窮大變到0）

(積分求導(dǎo))?

1、? ? ?；

2、。

(數(shù)學(xué)歸納法證明極限存在)? 設(shè)?、，證明??存在，并求值。

解：?，設(shè)?，則?。由數(shù)學(xué)歸納法得知數(shù)列??有下界，又?，因而??單調(diào)遞減，由單調(diào)有界原理??存在且為3。

注意：此題也可由??為下界，再證??即可得到?。

(求極限數(shù)列)(判別級(jí)數(shù))?

解：考慮級(jí)數(shù)?，用比值判別法，所以?收斂，所以

注意：利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件，可求一些級(jí)數(shù)為0的數(shù)列極限。

(無(wú)窮小)? 當(dāng)?時(shí)， g(x) 是 (x-a) 的n階無(wú)窮小，當(dāng)?時(shí)，f(u)是 u 的m階無(wú)窮小，則 f[g(x)] 是 (x-a) 的nm階無(wú)窮小。

(求極限)?

解：?=??=?? ?(拉格朗日中值定理，)

所以?=?

注意：求形如 I =??的極限，可用拉格朗日中值定理，轉(zhuǎn)化為??的式子

(積分公式)

1、；

2、；

3、；

4、；（ 這個(gè)比較重要 ）

5、。

(微分方程導(dǎo)數(shù)定義) ?設(shè)g(x)是微分方程g'(x) + g(x)sinx = cosx 滿足g(0) = 0，求

解：由題，又g'(0) = cos0-g(0)sin0 = 1

本題也可先解微粉方程在求極限。

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