pinv指令
???? 在多數(shù)解的例子中，有時(shí)并不是僅要將其中一變數(shù)設(shè)定為零之解。為使整個(gè)系統(tǒng)得到最佳化，亦可利用pinv指令求得最小模組之合理解。pinv(A)又稱為虛反矩陣(pseudoinverse)，其功能與反矩陣之計(jì)算相同，但它會(huì)基于svd(A)函數(shù)(或稱奇異值分解函數(shù))之計(jì)算方式，求得一個(gè)不是屬于全階之矩陣A之反矩陣。這是長方形矩陣求解時(shí)，在多重解中求其反矩陣之折衷方式。故若矩陣A為方矩陣或非零矩陣，則其結(jié)果應(yīng)與inv(A)相同。只是在這樣的狀況，寧可使用inv(A)較為省事。處理這些長方矩陣或特異矩陣時(shí)，使用pinv(A)會(huì)有意想不到的效果。其解法是根據(jù)反矩陣法：

A=[3 2 1; 10 -25 5];

C=[5000 2000]';

>> T=inv(A)*C

Error using inv

inv Matrix must be square.

>> T=pinv(A)*C

?

T =

?

?? 1.0e+03 *

?

??? 1.2039

??? 0.4852

??? 0.4180

　　上面之例因?yàn)锳不是方形矩陣，故求其反矩陣時(shí)會(huì)有錯(cuò)誤的信息，但若用虛反矩陣指令pinv，反而相安無事，這是將T1、T2以其馀一變數(shù)T3表示之情況下，求得其最小平方之組合。其結(jié)果是否合用則端視問題之限制與應(yīng)用而定。 PINV(A,TOL) 之指令後面另有參數(shù)TOL，可以輸入容許值。其預(yù)設(shè)值為MAX(SIZE(A)) * NORM(A) * EPS(class(A))，讀者可參考手冊(cè)之說明，以了解其使用方法。

?

inv 與pinv 的區(qū)別

對(duì)于非奇異且不接近奇異的方陣兩個(gè)命令輸出結(jié)果相同，但是對(duì)于接近奇異的矩陣使用兩個(gè)命令結(jié)果卻不同，

1.對(duì)于方陣A，如果為非奇異方陣，則存在逆矩陣inv(A)
2.對(duì)于奇異矩陣或者非方陣，并不存在逆矩陣，但可以使用pinv(A)求其偽逆

?

Matlab中的‘\ ’和‘/’和pinv的關(guān)系以及運(yùn)算

　　當(dāng)A是N階方陣B為N行的列向量時(shí)，X=A\B就是線性方程組A*X=B的解，算法是用高斯消去法。A\EYE(SIZE(A))產(chǎn)生的是方陣A的逆矩陣。

　　如果A是M*N的矩陣且M≠N，B是跟A行數(shù)(M行)相同的列向量時(shí)，X=A\B是非滿秩的線性方程組A*X=B的解系，A的秩K由QR分解得出。如果K<N通常結(jié)果與PINV(A)*B不等(PINV(A)是求A的廣義逆矩陣)。 A\EYE(SIZE(A))得到的是A的廣義逆矩陣。

?

　　總而言之，A\B就是求A*X=B的解，你可以看作是A的逆矩陣，只不過是廣義逆矩陣，這樣A不是方陣也可以計(jì)算的。

?

　　至于A/B，在解線性方程組上比\少用一些，因?yàn)橥ǔ６及袯寫成列向量，所以用反除\就可以了。用/的話，B通常是行向量。

可以把B/A看作是X*A=B的解，這里B的列數(shù)等于A的列數(shù)。

?

A\B=pinv(A)*B?

A/B=A*pinv(B)

可見，'\'用的是高斯消元法。

虛反矩陣指令pinv之應(yīng)用