分類(Classification)與回歸都屬于監(jiān)督學(xué)習(xí)，兩者的唯一區(qū)別在于，前者要預(yù)測的輸出變量\(y\)只能取離散值，而后者的輸出變量是連續(xù)的。這些離散的輸出變量在分類問題中通常稱之為標(biāo)簽(Label)。

線性回歸的策略同樣也適用于分類嗎？答案是否定的。下面結(jié)合例子簡要說明理由。假設(shè)我們現(xiàn)在的任務(wù)是根據(jù)腫瘤大小判斷是否為良性腫瘤，答案當(dāng)然只有yes或no。我們用\(y=1\)表示良性腫瘤，用\(y=0\)表示惡性腫瘤。當(dāng)然，如果你想用其他兩個不同的值分別對應(yīng)這兩類腫瘤也是可以的。在下圖所示的例子中，我們都使用線性回歸的方式進(jìn)行分類。在左圖中，如果樣本對應(yīng)的輸出值小于\(0.5\)，我們視其為惡性腫瘤，否則為良性腫瘤，分類效果還不錯；在右圖中，良性腫瘤的大小范圍變廣了一些，線性模型要發(fā)生偏轉(zhuǎn)，如果仍然用\(0.5\)作為分類的閾值(Threshold)，誤分類的樣本所占比例就不少了。另外一方面，該分類問題中\(zhòng)(y\)只能取0或1兩種值，而線性模型預(yù)測的值去可以遠(yuǎn)大于1或遠(yuǎn)小于0，極大地偏離輸出變量的值。因此，我們認(rèn)為用線性回歸解決分類問題是不明智的。

接下來，我們以二分類為基礎(chǔ)展開討論。樣本標(biāo)簽\(y\in\{0,1\}\)，標(biāo)簽為1的樣本稱為正樣本(Positive Samples)，標(biāo)簽為0的樣本稱為負(fù)樣本(Negative Samples)。我們希望假設(shè)函數(shù)\(h_\theta(x)\in[0,1]\)，選用logistic函數(shù)。下圖為logistic函數(shù)曲線圖，定義域為\((-\infty,+\infty)\)，在整個定義域上都連續(xù)可導(dǎo)，其一階偏導(dǎo)如下：

\begin{align}g'(z)&=\fracnv1t9rj5{dz}\frac{1}{1+e^{-z}}\\&=-\frac{1}{(1+e^{-z})^2}\cdot \frac{d(1+e^{-z})}{dz}\\&=\frac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}\\&=\frac{1}{1+e^{-z}}\cdot\left(1-\frac{1}{1+e^{-z}}\right)\\&=g(z)(1-g(z))\end{align}

我們的假設(shè)函數(shù)形式如下：

\begin{equation}h_\theta(x)=g(\theta^Tx)=\frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)}\end{equation}

假設(shè)分類問題中的后驗概率(posterior probability)形式如下：

\begin{equation}P(y=1|x;\theta)=h_\theta(x)\end{equation}

\begin{equation}P(y=0|x;\theta)=1-h_\theta(x)\end{equation}

綜合公式(7)和公式(8)，用更緊湊的形式表述：

\begin{equation}P(y|x;\theta)=h_\theta(x)^y(1-h_\theta(x))^{1-y}\end{equation}

假設(shè)所有樣本相互獨(dú)立，則似然函數(shù)為：\begin{align}L(\theta)&=P(\vec{y}|X;\theta)\\&=\prod_{i=1}^mP(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)\\&=\prod_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})^{y^{(i)}}(1-h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}\end{align}

將公式(13)轉(zhuǎn)換為對數(shù)似然函數(shù)的形式：

\begin{equation}\ell(\theta)=\log L(\theta)=\sum_{i=1}^m y^{(i)}\log h_\theta(x^{(i)})+(1-y^{(i)})\log(1-h_\theta(x^{(i)}))\end{equation}

對數(shù)似然函數(shù)\(\ell(\theta)\)對參數(shù)\(\theta\)求導(dǎo)：

\begin{equation}
\begin{array}{ll}
&\quad\frac{\partial\ell(\theta)}{\partial \theta_i}\\
&=\sum_{j=1}^m\left(y^{(j)}\frac{1}{g(\theta^Tx^{(j)})}-(1-y^{(j)})\frac{1}{1-g(\theta^Tx^{(j)})}\right)\\
&\quad\cdot\frac{\partial}{\partial\theta_i}g(\theta^Tx^{(j)})\\
&=\sum_{j=1}^m\left(y^{(j)}\frac{1}{g(\theta^Tx^{(j)})}-(1-y^{(j)})\frac{1}{1-g(\theta^Tx^{(j)})}\right)\\
&\quad\cdot g(\theta^Tx^{(j)})(1-g(\theta^Tx^{(j)}))\frac{\partial}{\partial\theta_i}\theta^Tx^{(j)}\\
&=\sum_{j=1}^m\left(y^{(j)}(1-g(\theta^Tx^{(j)})-(1-y^{(j)})g(\theta^Tx^{(j)})\right)x_i^{(j)}\\ &=\sum_{j=1}^m(y^{(j)}-h_\theta(x^{(j)}))x_i^{(j)}
\end{array}
\end{equation}

最后，我們可以采用梯度上升(Gradient Ascend)的策略迭代更新參數(shù)\(\theta\)，以使對數(shù)似然函數(shù)收斂到最大值，更新規(guī)則如下：

\begin{equation}\theta_i=\theta_i+\alpha\sum_{j=1}^m(y^{(j)}-h_\theta(x^{(j)}))x_i^{(j)}\end{equation}

我在數(shù)據(jù)集 ionosphere 上做了實驗， 實驗代碼在這里下載 。該數(shù)據(jù)集一共有351個樣本，每個樣本有35個屬性，其中第35個屬性為'b'或'g'(表示bad或good)，是一個二分類問題。我將整個數(shù)據(jù)集抽取7成作為訓(xùn)練集，剩下的作為測試集，最終得到的正確率為\(91.509\%\)。代碼中有兩點要說明：1)代碼中實際上還考慮了對參數(shù)\(\theta\)正則化處理，避免某些參數(shù)過大，我們將LGClassifier.m中的lambda設(shè)置為0即可屏蔽正則項，在lambda=0.1時，正確率是會有提升的；2)本文中的目標(biāo)函數(shù)是求使似然函數(shù)最大的參數(shù)，但是我們利用的LBFGS工具包只針對使目標(biāo)函數(shù)最小的優(yōu)化，我們只需要在文中的目標(biāo)函數(shù)前面添加負(fù)號即可將最大化問題等價轉(zhuǎn)化為最小化問題；最后，在針對參數(shù)\(\theta\)求倒數(shù)的時候，也需要在前面添加負(fù)號。

Logistic Regression and Classification